DV* a/. DoncCD:DV;:AB*ÇV %
tdiAY xBV x^ # .
S**
de Terfpective linéaire^ 37
•aagèBsg=BBeg 1 i' 'ii m ■" ■'■m» 'i-'F ages
PROBLÊME V,
Étant donné le centre du tableau & la défiance
de l'œil au tableau y avec l'interjection d'un
plan & fon inclinaison au tableau ; trouver
la ligne de fuite > [on centre .& fa dijlance*
S Oit AB PinterfeéHon donnée du plan^^^
avec le tableau , C le centre du tableau j ******** '•
menez CO parallèle à AB & égale à la di£
tance du tableau, & CA perpendiculaire à
AB. Menez OS qui coupe AC prolongée en
S , de manière que l'angle OSC foit égal à
Finclinaifon du plan objeftif avec le tableau*
Menez enfin SD parallèle à AB j SD fera la
ligne de fuite, S fon centre & OS fa diftance.
Démonstration.
Imaginons que le triangle OSC foit élevé
fur le tableau de manière que OC foit per-
pendiculaire au tableau ASDB. Dans ce cas
O feroit le point de Tœil , & SD étant pa-
rallèle à AB , un plan qui pafferoit par cette
dernière ligne & par le point O , feroit le pa-
rallèle d'un plan objeâif qui pafferoit par AB
C 11 j
38 Nouveaux Principe*
& qui ferait incliné au tableau félon Fangle
OSC Donc SD eft la ligne de flûte ; & OS
étant dans ce cas perpendiculaire à SD, S fe-
rait le centre & SO la diftance de la ligne
de fuite SD. Ce qu'il falloir démontrer.
N.B.Ea prenant OC pour rayon , CS eft
la cotangente & OS la cofécante de ïïncli-
naifon du plan objectif avec le tableau.
PROBLÊME VI.
Etant donné , Vinterfection d'un plan objectif %
fa ligne de fuite 9 fon centre & fa diflance jt
trouver la projeSion d'une ligne quelconque
du plan objeSif > de manière que les figures
de ce plan objeâif foient repréf entées dans
leurs jufles proportions.
Tigure 10. Ç Oit DF l'interfe&ion donnée du plan ob-
PUnchc*. J5 . eftif ayec j e taWeau? H Q fa jjg^ de
fuite 9 & S le centre de cette ligne ; élevez
SO perpendiculaire à GH. Soit ÀBDF le
plan objeftif ramené dans le plan du ta-
bleau , en le faifant tourner autour de fon in-
terfe&ion DF , & foit OHG le plan parallèle
au plan obje&if , ramené auffi au plan du ta-
r Je Perfpèctive linéaire; }. Menons OG parallèle à AB , & qui coupe
la ligne de fuite en G. Menons enfirite la li-
gne DG , qui fera la projeétion indéfinie de la
ligne objeétive AB, Enfin par les points A &
B , menons à volonté les lignes AC & BC
qui fe rencontrent en C ; & après avoir
trouvé f comme cWevant , leurs projetions
indéfinies FI & EH qui coupent la ligne DG
en a & en b , nous aurons dans la ligne ai
la projeétion déterminée de la ligne objeétive
AB j puifque a eft la projeétion de Pextré-
mité A de cette ligne objeétive , & b la pro-
jeétion du point B qui eft fon autre extré*
mité : car FI étant la projeétion indéfinie de
AC , & DG de AB , l'interfeétion a de FI
& DG fera la projeétion de l'interfeétion A
de AC & AB , & ainfi de l'autre point b.
Autrement , foit KL la ligne objeétive don-
née. Après avoir trouvé par la méthode pré*
cédente fa projeétion indéfinie QG , on mè-
nera les lignes OK & OL qui coupent cette
Civ
40 Nouveaux Principe*
projeftkm en k 6c L Ces points k & /i
les projeftions des extrémités K & L de la
ligne obje£Uve.
Autrement , par les lignes diretbices.
Vtçttntu &>it EF l'interfe&ion donnée , & que te
PUcUkj. jjlan objeétif fbit ramené dans le plan du tst-
# bleau EFGH , de .manière que la ligne de di-
reétion y qui eft l'interfeôion commune du plan
" ' objeftif & du plan de direétion ( définition
14. ) tombe fur HI , & que la diftance entre
EF & HI fbit égale à la diftance de la ligne
de fuite donnée. Soit auffi O le point de l'œil ,
ramené dans le plan du tableau avec le plan
de direéHon HOI ( qui ejl parallèle au ta~
bleau y définition S. ) on trouvera la projeo
tion indéfinie d'une ligne objective AB , en
la prolongeant , jufques à ce qu'elle coupe EF
& HI en F & G j menant enfuite QG &
tirant Fa parallèle à OG , Fa fera la projeo*
tion indéfinie requife» On trouvera de même
l'a projeâion indéfinie Ed d'une autre ligne
AD, qui pafle par A & par fon interfeétion.
Avec Fa on aura la projeftion a de l'extré-
mité A. On aura de même l'autre extrémité
b 1 ou bien on trouvera ces extrémités en
de Perjpective lin taire i ^j*
jftrenant des lignes des points A & B au point
O , comme dans la çonftruâion précédent?.
Démonstration,
Imaginons que ces figures foient repliées
{figure 10. planche z. ) en DF & HG &
(figure %i. planche z. ) en EF & HI , de
manière que le plan objeéUf , fon parallèle
& le plan de dire&ion reviennent avec le
point de l'œil O dans la position qui leur
convient. On verra alors que D (dans la fi-
gure io. planche z.) & F (dans la figure ii m
planché z. ) eft rinterfeâion de AB & que Q
( dans la figure' ii. planche z.) eft fon point de
direftion.} mais OG (dans la figure 10. plan-
che 2, ) eft toujours parallèle à AB. Donc G
eft fon point de fuite , & DG fa projeétipn
indéfinie {par le Théorème j. ) & Fa ( dans la
figure ht. planche z.) eft toujours parallèle à
OG qui eft la ligne direftrice de AB. Donc
Fa eft la projeftion indéfinie de AB ( par U
Théorème b. ) Il eft clair que le point a par
TinterfeéUon de FÏ avec DG (dans la figure
io. planche z.) &dç Eiavec Fa (dans la, fi-
gure ii. planche z. ) eft la projeâion du ppin*
%i Nouveaux Principes
d'interfe&ion des lignes objeâdves AB & ÀC
(dans la figure 10. planche z. ) & de AB &
AD (dans la figure n. planchez.)
L'autre conftruftion par les lignes AO &
-BO , ou OK & KL , eft la même que celle
de la figure 6. planche i. par les lignes AO
& CO pour trouver les points a & c dans
cette figure 6. planche i. comme on Ta ex-
pliqué dans le Corollaire i. du Problème z*
N. B. i°. Le Lefteur qui n'eft pas verfé
dans les mathématiques, n'aura pas beaucoup
de peine à imaginer comment le plan objec-
tif , fon parallèle & le plan de dfreftion
peuvent fe ramener auffi bien que le point
de l'œil dans le plan du tableau , s'il veiit
bien faire attention que dans la figure 3. plan-
che z. tous ces différens plans peuvent fe ra-
procher àmefure que les angles OVB & ODB
s'aggrandiffent $ de manière que le paralle-
lograme O VBD ne formera plus qu'une ligne
droite OVB, & le plan de direction ODEfe
confondra avec le plan du tableau OVB ,
de même que le plan objeftif BHF , qui fera
vu au travers du tableau & collé derrière h
tableau*
r de* PerfpeSive linéaire! 5j#
7V1 B. 2°. Dans la figure n. planche z. les
projetions ad & kl font parallèles, parceque
leurs lignes objeôives ont la même direôrice
OH , conformément au Corollaire i. du Théo-
rème b. Il en eft de même des projeétiqns •
Im & cd dont les lignes objeôives ont la même
direftrice OI.
i '
PROBLÊME VIL
Les mêmes chofes étant données , comme dans le
Problême précédent ; trouver la projection
d'une figure > qui efi dans le plan obje&if*
ON trouvera la projeôion entière de la
figure donnée, en cherchant par le Pro-
blême précédent les projetions de fes diffé-
rentes parties.
Par exemple : la projeftion klmnp du pen- .*%»**«
tagone KLMNP fe trouve en cette manière.
Menez OG, OH, OI, OV parallèles à KL,
LM, MN, KP, refpeftivement; les points G,
H , f , V feront leurs points de fuite j & KL ,
LM , MN , étant prolongées , couperont
leurs projetions indéfinies dans leips interfec-
tions Q , R , T. Donc en menant QG , RH,
jj Nouveaux Principe*
T1 , on aura les projetions / & m des points
L & M par les interférions mutuelles de cçs
lignes. Menant enfiiite OK & ON , on aura
les points k & n ; & menant fcV au point d»
f fuite V de la ligne objeftive KP , on aura
la proje&ion indéfinie de KP, Enfin menant
OP , on aura le point p.
On trouvera les projetions des figures cur-
vilignes en cherchant celles de leurs différens
points, & en les joignant enfiiite à la main,
aufli exa&ement qu'il fera poffible.
*%. «j. n. Ainfi dans la figure 13. n°* z % DE étant J'in-
. plane. 2. ter f e fti on & VF la ligne de fuite, O le point de
Toeil & ABC le cercle objeéHf placé comme
4&ns le Problême précédent , on trouvera la
projéftion a d'un point quelconque À , en me-
nant AD & fa parallèle O V $ menant enfuite
DV & ô A qui fe coupent au point requis a
félon la conftru&ion du Problême 6. D étant
l'interfeôion & V le point de fuite de la ligne
AD. Si les autres lignes de la même figure
font menées parallèlement à la ligne AD &
parallèlement les unes aux autres, le même
point de fuite leur fera commun»
r de PerfpeSlvê Rnlutêi ty
Ou bien comme dans n°. i. ( * ) VF étant/%. 13: «
la ligne de direftion ramenée dans le tableau , J# **•"• *
ainfi que dans la figure 11 . planche 2. & tout
le refte fubfiftaht comme ci-devant ; 00 mè-
nera à volonté AD qui coupera DE & VF
en D & en V , & menant enfuite ÔV & Da
fa parallèle , on mènera encore la ligne OÀ ,
qui coupant la ligne Da en a, donne , par là
iftême > la projection a du point À j & le
iftême point V fervant de point de direétiôn *
à tous les points À , B , &c. & à la même
ligne OV (par le Corollaire t. du Théorème 5.)
Toutes les lignes qui font parallèles à la ligne
Da feront parallèles entr elles & à là même
ligne OV.
( * ) On peut remarquer que cette ligné VF repréfente
la figue DE de la figure 3. planche t. ramenée fur le plan
du tableau , en aggrandiffant les angles OVB > ODG juftjues
2l ce qu'ils deviennent chacun.de 18p. degrés ; les angles DOV„
'êc DBV devenant alors nuls , ainfi qu'on Ta vu dans la i**. te- ; ' l
«tarque du Problème 0, la ligne DE ainfi ramenée fur le ta- • * ^
fcljsau eft parallèle à la ligne de fuite CV ( figure 3. planche u\
6c à la ligne d'interfeâion BI, & OD eft toujours égal à BV;
jfi Nouveaux Principes
PROBLÊME VlIL
Trouver la projection d'une figure , qui eji dans,
un plan parallèle au tableau.
ON a vu dans le Corollaire z. du Théo-
rème 4'. que cette projeflion doit être
femblable à fon objet. Il faut donc prendre
une copie femblable à la figure objeéHve ^
en donnant à fes côtés homologues la pro-
portion qu'on a expliquée dans le Corollaire^
S\ du même Théorème.
PROBLÊME IX.
Etant donnée Uintèrfection d'un planifia ligné
de fuite , fon centre , & fa dijîance ; trou-
ver la figure objective d'une projeSion faite
. fur le tableau. ,
figurât*. nPOuT étant préparé dans la figure toi
?knchc2. JL planche z. comme dans les Problèmes
6. & y. foit propofé de trouver la figure ob-
je&ive de la proje&ion klmnp. Continuez les *
projetions kl , Im x mn jufques à ce qu'elles
coupent Pinterfeétion en- Q , R , T. qui fe-
jront leurs interférions 7 & la ligne de fuite
r JU PerfpeSive linéaire! jgf
fcn G , H , I qui feront leurs points de fuite*
Prolongez auffi la ligne kp jufques à fon
point de fuite V & menez les lignes OG f
OH, Oî, OV, & QK , RM, TN paral-
lèles aux trois premières refpeéHvement } el-
les fe couperont mutuellement en L & en M.
Menez Oit & On qui couperont QL & TM
dans les points objeôifs K & N de k & n. Me-
nez KP parallèle à O V & Op , qui la coupe
en P , & ce point P fera le point objeftif
de p. Enfin en menant NP > on aura la figure
objeôive reqirifè.
Démonstration*
Cette conftruéHon eft évidente par le
Problème f. qui eft Tinverfe de celui-ci.
N. B. On peut de même, revenir à la fi-
gure objeâive , par le moyen des lignes di-
xeâxices 7 comme dans la figure i r \
?•■..
Î4S Nouveaux Principtf
PROBLÈME JL
Les mêmes chofes étant dôûnèes ; trouver feu-
lement la longueur de la ligne objective d'une
projection donnée.
ngure to. Ç Oit I , II la proje&ion donnée , le reÛe
9 ianchc*. ^ ^ e j a flg Ure étant conçu , comme dans
les Problêmes .précédera $ prolongez I , Il
jufques à fa rencontre avec la ligne de fuite %
dans fon point de fuite V : & après avoir
mené VO ; prenez dans la ligne de fuite Vj
égal à VO. Menez enfuite j», I & 3 , IL qui
coupent la ligne dlnterfeétion ert 1 & 2 $ je
4is que i , 2 fera la lohgueiif cherchée de
la ligne requifede la ligne objè&ivô dont là»
projeéHon eft I, IL
Démonstration.
Soit WTinterfeéUon de I , IL V3 étant égat
à VO , diftaiice du point de fuite , & Wz étant
parallèle à V3 , on pourra? prendre le point
3 pour le point de -l'œil, ^12 pour la ligne
objeéfcive , & 3. 1 , & 3. 2 pour les rayons
vifuels qui forment la proje&ion L IL Car fî
Ton compare cette figure 10. planche z. ayec
la
de Pêrfpeciive linéaire. 49
ia figure 3. planche i. on verra que Tinter-
fe&ion W eft la même chofe que B ( figure
3. planche t. ) que WV eft BV ; 3V parai-,
lele à W 1. 2 eft la même ligne que OV pa-
rallèle à BGF ; que I. II eû 9 gf 9 & par con-
féquent 1. 2 répond à G F de la même figure
3. planche i.
Cor ollaire. On peut trouver la longueur
!• 2 avec l'échelle & le compas, en faifant
1. 2 : V 3 ( ou VO ) : : I. II x WV : I, V x IL
V Cxr *•* — «•* v dI V in — ■• * V v * V LIÏ
v. v^ar — — ^ x Hi^vT"" Tl * ilv *v7
= r£ x w x v? = r£ x £L c'eft-à-dire que
i.i:Vj::Ln*WV:H.VxI.V.
PROBLÊME X L
iT/a/zr donnée la ligne de fuite d'un plan, fan
centre & fa diflahce \ & la projection d'une
ligne de ce plan ; trouver la projeciion d'une
autre ligne du même plan , qui forme un angle
donné avec la première.
SO 1 t O le point de l'œil , placé comme Figure 10.
dans les Problêmes précédents , G H la plMittai .
ligne de fuite , & ab la projection donnée j
D
#o Nouveaux Principes
S eô qaeftkm de mener oc, de manière que
Tangte objeâif de bac (bit égal à un angle
donné. Prolongez ab jufques à ion point de
finie G : menez GO & OI qui forment l'an-
gle G OI égal àj'angle donné , & qui coupent
la ligne de fuite en L Menez enfuite lac qui
fera la ligne cherchée.
Démonstration.
La figure étant conçue, comme dans les
Problêmes précédens , foit AB la ligne objec-
tive de ab, & par conféquent parallèle à OG
( par la Définition ib.& par le Théorème j. )
Par la même raifon AC parallèle à OI eft la
ligne objeéHve de ac ; puifque I eft fon point
de fuite ( Théorème 3. ) Mais AB*& AC étant
parallèles à OG & OI , l'angle BAC eft égal
à GOI , qui eft égal , par la conftru&ion , à
Fangle donné. Donc bac repréferitant l'angle
BAC , repréfente aufli l'angle donné. Ce qu'il
falloit conftruire.
N. B. S'il avoit fallu faire enforte , que l'an-
gle abc repréfentât l'angle ABC , il auroit fallu
prendre l'angle G OH, fupplément à deux
droits de l'angle ABC, Car ces lignes OH,
« de PerfpeShe linéaire. j i,
OG étant parallèles aux lignes BC , BA , il
eft évident que l'angle GOH eft Supplément
de Tangle ABC
PROBLÊME XU
Etant donnée la ligne de fuite d'un plan , fon
centre & fa diflance , & la projeâion d'un
côté d'un triangle d'une efpéce donnée > & qui
eft fur ce plan y trouver la projection de tout
le triangle*
ON trouvera les projetions des côtés qui pt^ to;
manquenrà ce triangle , par le Problê- w * w * *>
me précédent, les angles du triangle étant
donnés j & ainfi ayant la projection donnée
ab du côté AB du triangle ABC, on trouvera
le point dfe fiiite I du côté ac , en faifant l'an-
gle IOG égal à Tangle CAB, & l'on aura
le point de fuite H du côté bc , en faifant
l'angle HOG fupplément de CBA.
N. B. Si le point de fiiite de la ligne don-
née ab eft hors de portée , on pourra pro-
céder de la manière fiiivante. Prenez une li-
gne DR ( parallèle à la ligne de fuite HG ,
Dij
jf Nouveaux Principes +
par le Théorème 6. ) pour la ligne d'interfèc*
tion , & par le moyen de deux lignes H£E f
IaF , menées à volonté par les points b & a,
vous aurez les points obje&ifs A & B des
points a & b ( par le Problême p. ) & vous
mènerez AB. Enfuite fur le côté AB, vous
achèverez le triangle obje&if y & trous trou-
verez les projetions des côtés qui manquent
par le Problême y. Cela eft fondé fur ce que
dans la figure 3. planche i. fi l'on mené un
plan parallèle au plan obje&if , la projeftion
d'une figure donnée fur le plan obje&if , fera
aufli la proje&ion dune figure fëmblable du
plan parallèle au plan obje&if. . .
PROBLÊME XIIL
Etant donnée h ligne de fuite d'un plan ,fon
centre & fa difiance ', & la proje&ion K des côtés & des diagonales BC,
FE,ADj AF, BE,CD; AC,[par lePro-
• blême II. ] en faifant les angles HOG de 60
degrés., IOG de 120 degrés, & KOG de 30
degrés i & menant AK & BH, vous aurez le
point C. Menez AH & C^ , vous aurez le
point D. Menez DE parallèle à IK & la l?gne
AS , vous aurez # le point E. ( car S eft le point ♦
de fuite, de AE , l'angle obje&if de EAB
Diij
j4 Nouveaux Principes
étant un angle droit , comme GOS. ) Enfin
menez EH & AI , vous aurez le point F , &
par conféquent toute la figure requife. On na
pas mené les lignes AK , AS , pour ne pas
embrouiller la figure $ on fera fouvent de même
dans les autres Exemples.
Exemple IL
Dans h. figure i5. planche 3. on trouve la
proje£Hon mrptqs de la figure MRPTQS
( qui eft Pichaographie d'un icofaëdre régulier
aflis fur Tune de fes faces. ) Etait donnée la
Figure %$. projefHon ab du côté AB , & la ligne de fuite
Planche 3. VX , avec le point de Pœil O ramené fur le
tableau, comme dans le Problême précédent,
» on décrit d'abord Tichnographie obje&ive en
traçant deux exagones réguliers & concen-
triques AFBICH & RMSQTP f dont les cô-
tés homologues font en raifon des parties d'une
ligne coupée en extrême & moyenne raifon*
( Voyez la Définition 3. du Liv. 6. des Ele-
mens ) & en menant les lignes que Ton voit
tracées dans la figure.
• Ayant prolongé la proje£^ion ab jufques à
fon point de fuite V , on aura les points de
de Perfpective linéaire. 5 j
fuite W & X des autres deux côtés du trian-
gle abc {par le Problème 21. ) enfuite menant
à volonté sP parallèle à VX , menez Wa &
Vfb qui coupent cette ligne en a & b * &
divifant abenk,d,e,l,en même propor-
tion que AB en K, D , E, L, on mènera kW,
dW, eW, 1W, pour avoir les projetions k,
d, e, l des points K , D, E, L (parle Pro-
blême 3. ) ; menant enfuite dX , eW & eX ,
on aura les points/ & g\ menez enfin gV , &
vous aurez les point h & i : car X, W & V
étant les points de fuite refpeôivement de bc ,
ne , & V, on a le point q par fofl
interfeâion avec IW déjà tracée j parce qtle
PQ eft parallèle à AB , & QL à AC. Menez
6W & wV , vous aurez le point r..
Faites m s égale à:md, & menez sW, vous
aurez le point s.' Enfin menant ^X, qui coupe
roW déjà tracée , on aura t. On achevé le
refte , en joignant les points trouvés , comme
pn le voit aflez dans la figure.
. ,. E x e m_p i £ III.
; On trouve dans cet Exemple, la projec-
Figure 16. tion de l'ichno graphie d'un dodécaèdre régu-
p/tf/zc ^ 3, 'Her^-lorfque l'an a« là proje&ion donnée de
i'ùuMe {es côtés > jen.iteyenantït ,1a. figure ob-
je£Hve par le Problème g. & procédant en-
fuite par le Problême, y. le Leâeur peut s'exer-
cer en examinant: cette figure .$ & je dois feu-
lement lui faire remarquer, que i'ichnogra-
phie obje&ive fe fait en décrivant deu^ déca-
gones concentriques & parallèles, dont les cô-
tés homologues font comme les fegmens d'une
ligne coupée en moyenne & extrême ration.
de Perfpective linéaire. ^J
Exemple. IV.
Dans cet Exemple , DC étant Ja ligne de *%** l 7-
fuite & Q le point de l'œil ramené au tableau, PUnçhe 3
comme dans les Problèmes précédents , on
trouvera la.proje&ion ANBMLP d'un oftaë-
dre régulier ', étant donnée la projeétion AB
de l'un de fes côtés/ 11 n'y a qu'à opérer de
cette jnanierë. Ayant prolongé AB- jufques à
fon poirit de fuite G; on trouvera le point de
fuite G des côtés AK & NM (par le Pro-
blème u. ) en faifant l'angle COG de 60 de-
grés. Enfuite, (par le Problêrrie ?q .) en choi-
fiffant une ligne bl parallèle à CE), pourfer-
vir d'interfe&ion , & faifant ÇI> égal à GO ,
& GH égal à GQ,a on mène. DA & DB,
qui coupent Wena&i, ab fefp. la longueur
de la ligne obje&ive de AB. Menez HA qui
coupe bl en a , & faites a/ égal à ab j menez
encore /H qui coupe AG en L , vous aurez
la projeâiori AL (dont la ligne ôbjeftive eft
égale,^. a/, &:par cpnféqitent à la ligne ob-
jeftive de AB , puifque a/ eft égal à ab. ) Di-
vifez enfuite ab & a/ chacune* ôff trois parties
égales par les points* ,'fii y k , & menez
1 1 . / I . . ri m . h I . vas î^rrc » mnts ? „
, : Dr i u Tobicm ^ tlénK: ^nrin
i- . * i--. . i. vus urrc;. ss.xonn; Vt, N .
. 11 . .;.^v5t.i.ïp\
- v ^ ^.vrr .e z^rr /^? j;a?7 i
A : : ^n- e n«- remue* * 5c C
.; ; :.... ': I^u^tnr, - .r^îmiTi mit CO
A .C-Virnts u< ir*rui*-r:idiiT i. LUE. V Il£-
de PerfpeUlve linéaire. j£
parallèle du plan objeftif ? & la ligne
OD lui ferait perpendiculaire. Par conféquent
ce feroit la parallèle de toutes les lignes per-
pendiculaires au plan objeftif. Donc D eft le
point de fuite de ces perpendiculaires ( par la
Définition 27, )
N* £. g, Lorfque la ligne de fuite AB
paffe par le centre du tableau , c'eft-à-dire ,
lorfque le plan objeftif eft perpendiculaire
au tableau $ le point D eft à une diftance in-
finie , la ligne OD étant parallèle à AD -, &
les projetions des lignes perpendiculaires au
plan propofé feront toutes perpendiculaires
à ÀB f puifqu'elles ne peuvent rencontrer la
ligne AC > qui lui eft perpendiculaire > qu'à
une diftance infinie. Elles feront donc tou-
tes parallèles entr'elles g ce qui doit être en-
core par une autre raifon, puifque leurs li-
gnes obje&ives font toutes parallèles au ta-
bleau.
N. B. i. Lorfque le plan objeftif eft pa-
rallèle au tableau , au lieu de lui être per-
pendiculaire , la diftance CA devient infinie ,
& par conféquent OA eft parallèle à CA ,
& OD le confond avec OC , & fait tom-
60 Nouveaux Principes
bcr le point D au centre C du tableaf;
conformément au Corollaire z du Théorème j.
N. B. 3. CD eft troifieme proportioneUe
à AC & CO , de même que AD à AC &
AO.
N. B. 4. OD eft la diftance du point de
fuite D.
PROBLÊME XV.
Etant donne le centre & la dijlance du tableau;
trouver la ligne de fuite y fon centre & fa
diflançe , des plans perpendiculaires aux li-
gnes qui ont un certain point de fuite donné.
urets. Ç^ Oit Clé centre du tableau ,,D le point
w . ^.Cf de fiùte donné. Joignez DC & élevez
CO perpendiculaire à DC & égalé à' la di£
tance du tableau y joignes DO & élevez OA
perpendiculaire à DO qui coupe DC en A.
Elevez AB perpendiculaire à DC. AB fera
la ligne de fuite requife , A fon centre (par
.le Théorème 1. ) & AQ fa diftance.
Cette conftru&ion fuit néceflairement de
celle du Problême précédent , & l'on doit
y appliquer les mêmes remarques.
'dé PërfpeStivè t linéaire. et
PROBLÈME XVL
Etant donné le centre & la diftance du. tableau;
mener par un point donné la ligne de fuite
d'un plan perpendiculaire à un autre plan >
dont la ligne de fuite ejl donnée , & trou-
ver le centre & la dijlance de cette ligne de
fuite.
S Oit AB la ligne de «fuite donnée & C Figure 18.
le centre du tableau, foit auffi E le point Planche ^
donné ; cherchez le point de fuite D des li-
gnes perpendiculaires aux plans objeéHfs dont
AB eftla ligne de fuite. (/>ar le Problème 14.)
Menez DE, qui fera la ligne de fuite requi*
fe j abaiflez CF perpendiculaire à DE en F ,
& F fera le centre de la ligne de fuite DE (par
le Théorème i. ) Faites un triangle ré&angle ,
dont la bafe foit CF , & dont l'autre côté
perpendiculaire à la bafe CF foit égal à la
diftance du tableau ; foft hypothenufe fera la
diftance de la ligne de fuite DE (par le Co-
rollaire du Théorème i. ) . A
Démon s t r a t i o n.
Puisque le plan dont on demancfe la ji-
6* Nouveaux Pnneipei'
gne de fuite eft perpendiculaire à l'autre plaûj
fa ligne de fuite doit pafler par le point de
fuite D des lignes perpendiculaires à cet au-
tre plan } parce que quelques unes de ces
lignes font dans le plan requis. Donc DE
elt la ligne de fuite requife. Le refte n'a pas
befoin de démonstration.
Corollaire L Si -l'on prolonge FC ju£
ques à fon interfeftion B avec la cligne de
fuite, ce point B fera le point de fuite (fts
lignes perpendiculaires au plan objeéHf de
la ligne de fuite DE. Car ce point de fuite
eft {parla conjlruction du Problème 14. ) dan*
la ligne FC j & par la démonftration du
Problême préfent , il eft auffi dans la ligné de
fuite donnée AB.
Corollaire IL Par conféquent fi Jes
lignes de fuite AB & DE fe rencontrent en
G , les points B , D & G feront les points
de fuite des trois côtés de l'angle folide d'un
cube , puifque ces trois côtés font perpen-
diculaires entr'eux j & ayant mené DB , on
fura les lignes de fuite UG , GD & DB des
trois plans qui forment cet angle folide.
Corollaire III. La diftance de la ligne
r ês PerfpeSivê linéaire! Sf
£e fuite DG eft égale à la ligne FP , fi le
point P eft Finterfeétion de la ligne FC avec
un cercle décrit far le diamètre DG. Voyez
la Remarque 3. du Problème 14.
PROBLÊME XVII.
Etant donné le centre & la difiance du tableau ,
& le point de fuite de VinurfeStion commune
de , deux plans inclinés l'un à l'autre d'un
angle donné 9 avec la ligne de fuite de l'un
des deux ; trouver la ligne de fuite de l'au-
tre plan.
S Oit C le centre du tableau , BG la ligne Figure t8.
de fuite donnée de Pun des deux plans, planche 3<
B le point de fuite de leur interfeftion com-
mune , & H l'angle donné de leur inclinat-
ion. Cherchez la ligne de fuite GD des plans
perpendiculaires aux lignes , dont le point de
fuite eft B ( par le Problème i5.) Suppofons
que cette ligne de fuite coupe celle qui eft
donnée en G. Cherchez dans GD le point
de fuite E des Ugnës qui forment l'angle
donné H , avec celles dont le point de flûte
eft G ( par U Prçblêgte zi.) c'efkMire que
#4 rJtfûmttaux Principes
dans BCF perpendiculaire à GFD , il faut
prendre FP égale à là diftance de la ligne
de fuite GD ( trouvée par le Problême t5. )
& menez. PG & PE , qui forment enfemble
l'angle donné EPG égal à H. Menez BE.
qui fera la ligne de fuite requife.
Démonstration.
Imaginons que le triangle GPE tourne
autour de la ligne GE , de manière que le
point P devienne le point de l'œil & qu'il
"réponde perpendiculairement au centre C du
tableau ; dans ce cas les plans BPG , GPD,
DPB feront les parallèles des trois plans ob-
je&ifs dont les lignes de fuite font BG , GD ,
DB ; celui dont la ligne de fuite eft DG , eft
perpendiculaire aux autres deux par la conf
tru&ion précédente , parce qu'il eft perpendi-
culaire à leur interfeétion commune , dont le
point de fuite eft B. Donc les plans objeâifs
dont les lignes de faite font BG & BD , for-
ment par leur inclinaifon mutuelle l'angle
EPG , c'eft-à-dire un angle égal à l'angle H : -
( car Tinclinaifon de deux plans fe mefure
toujours dans un plan perpendiculaire à leur
interfe&ioji
de Perfpeâlve linéaire: '6f
interfeôion commune. ) Donc BG étant la
ligne de fuite donnée , BE eft la ligne de fuite
requife*
N. B. Le centre de la ligne de fuite BE
fe trouve en abbaiffant du centre une per-
pendiculaire à cette ligne , {par le Théorème
2. ) & Ton trouve enfuite fa diftance , com-
me on a trouvé la diftance PF dans le Pro-
blême 1 6.
PROBLÊME XVIII.
Etant donné le centre & la dijlance du tableau,
avec la ligne de fuite de l'une des faces d'un
folide propofé , & la proje&iorh d'une ligne
dans cette face y trouver la projection de
tout le folide.
CHerchez par le moyen de la |K>jeo
tion donnée , Pichnographie de^Fa fi-
gure propofée fur le plan de la face dont la
ligne de fuite eft donnée {parle Problême z 3. )
Enfuite {par le Problème 16.) vous cherche-
rez la ligne de fuite du plan de Porthogra-
phie , par le inoyen des lignes déjà données
dans Pichnographie ( par le Problême 13. )
E
de Perfpective linéaire €y
moyen de l'ichnographie & de orthogra-
phie.
Etant donnée la proje&ion AB de l'un de Fig. i$.
fes côtés parallèle au tableau , FG parallèle P l * nc - +
à AB étant la ligne de fuite donnée de la
face ABCDE , F étant fon centre , H le cen-
tre du tableau & HO fa diftance à l'œil. Re-
marquez que pour éviter la confiifion des
lignes j'ai éloigné l'ichnographie & l'ortho-
graphie de l'efpace occupé par la projec-
tion requife , en procédant» de la manière
fuivante.
Pour avoir d'abord l'ichnographie , menez
à volonté & % à une diftance fuffifarite ab pa-
rallèle à AB : menez/ enfuite IA & IB qti
coupent ab en a & £ , ce. qui porte la ligne
AB en ab j I étant le point de fuite des li-
gnes perpendiculaires à la face ABCDE ,
dont la ligne de fuite eft FGj on trouve ce
point par le Problême 14. Enfin on décrit
toute l'ichnographie fur la ligne ab par le
Problême 13. comme on l'a déjà fait dans
l'Exemple J.
Quant à l'orthographie , on prend pour
fa ligne de fuite , comme étant la plus con-
E ij
68 Nouveaux Principes
venable, la ligne IHF qui paffe par le centre
du tableau. L'orthographie étant dans ce cas
plus fimple , & les projetons des lignes qui
font perpendiculaires à ce plan , étant toutes
perpendiculaires à FI par la note z. du Pro*
blême 14.
Menez du point de fuite G de la ligne
ae de l'ichnogaphie la ligne G A , & du point
I la ligne el qui coupe la première en E ,
vous aurez la projeéKon AE ; enfiiite me-
nez Aa & Ee toutes deux parallèles à GF ,
(& repréfentant par conféquent les perpen-
diculaires à l'orthographie , ainfi qu'on Fa
déjà dit j ) menez encore a e à volonté par le
point F , la ligne Fae coupera ces deux pa-
rallèles en a & e , ce qui donne ae , & par
le moyen de cette ligne a e vous aurez toute
la projeétion de l'orthographie ( par le Pro-
blême 13.) Lorfqu'on aura ainfi trouvé les
projetions de l'ichnographie & de l'orthogra-
phie , on trouvera la projeftion requife d'uh
point quelconque K , en menant kK parallèle
à FG , & kl .par les points correfpondants
K & k , & ces lignes fe couperont en K.
Pour rendit intelligible la proje&ion du
dé PerJpeSive linéaire. 6$
Cube qu'on voit dans cette figure , il fuffit
d'avertir le leéteur que les lignes fG & FI
font deux de fes lignes de fuite ,■& que h
troifieme qui paffe par le point I , eft une
parallèle à FG,
Quant aux ombres que Ton fuppofe produi-
tes par le foleil fur le plan de la face ÀBCDE
du dodécaèdre, on les trouvera de la même
manière qu'on trouve l'ombre uv d'une ligne,
ou côté Vv d'un cube.
Soit S le point de fuite donné de tous les Figure t?:
rayons de lumière , qui étant fuppofés venir Planch€ +
du foleil , font cenfés parallèles. Donc IS , qui
paffe par le point de fuite I de la ligne Vv ^
& par le point de fuite S des rayons de lu-
mière , eft la ligne de fuite du plan formé par
tous les rayons , qui paffent par la ligne Vv &
qui forment l'ombre uv ; & IS coupant en s
la ligne de fuite FG du plan où l'ombre tom-
be , s fera le point de fuite de l'ombre uv, la-
quelle eft Pinterfeftion du plan qui produit
l'ombre ( dont la ligne de fuite eft h ) avec
le plan où l'ombre tombe ( le point s étant le
point de fuite de cette interfeftion ( par le Co-
rollaire x iuThéorêmej. ) Ayant donc mené vs
Eiij
yo Nouveaux Principes
& VS qui fe coupent en u , vu fera l'ombre
de la ligne Vv.
N.B. Dans Tobjet.de l'orthographie de la
figure préfente , les points e , m, s , p , font les
angles d'un quarré ; les lignes on, al, qr étant
parallèles à em,&oq,nr étant parallèles à
ep , & égales à al, les lignes tk , on, qr fe-
ront égales, & on, em, al feront en propor-
tion géométrique continue du moindre feg-
ment au plus grand fegment d'une ligne cou-
pée en moyenne & extrême raifon.
Il eft bon de remarquer que pour éviter la
confiifion , on n'a pas tracé dans cette figure
toutes les lignes qu'on y indique.
Exemple V L
Figure 20. Dans cet Exemple , la ligne du fol , fur
»ianche 4 . feg^j e fl. p £ un m0 rceau de bâtiment &c.
eft AICKB , paffant par le centre C du ta-
bleau , la diftance de l'œil au tableau étant
égale à OC. BG & AH font les lignes de fuite
des plans verticaux abde, DEN &c. abc, DF
nm &c. G & H étant les points de fuite des
lignes be & nm qui touchent les coins fupé-
rieurs de deux rampes d'efcaliers , & par con-
de Perjpeclive linéaire. j%
fèquent AG & BH font les lignes de fuite des
plans qui touchent les bords fupérieurs , ou in-
férieurs des efcaliers.
Le côté donné hr^de la bafe d'un tétraè-
dre régulier eft parallèle à la ligne de fuite
AB , on trouve la projeôiôii u du centre de
la bafe hrp &c le lieu du-fômmet o en menant
pq parallèle à AB & Ir qui la coupe en q y
& menant enfuite Cp & hq qui fe coupent en
u , CL perpendiculaire à AB eft la ligne de
fuite d'un plan perpendiculaire à la bafe hrp
élevé fur up j & pafTànt par la ligne po , dont
on trouve le point de fuite L par le Problème
ii. en faifant CQ égale à la diftance du ta-
bleau & l'angle LQC égal à l'angle objeôif
deupo, CK eft la ligne de fuite de la face
upr, & par fon moyen on décrit cette face
( par le Problème iz.) prêtant donné j comme
on a décrit la race hrp fur hr.
On décrit Toftaëdre & l'icofaëdre par leur
ichnographie & orthographie , méthode, que
j'ai expliquée aflez clairement dans l'Exemple
précédent. J'avertirai feulement le Lefteur que
dans l'orthographie ABCDEFGH de l'icofaë-
dre , les lignes CD, AF, GH font égales,
E iv
y 2 Nouveaux Principes
aufli bien que AC , FD , BE , & que AF eft
à BE comme le moindre fegment eft au plus
grand d'une ligne coupée en moyenne & ex-
trême raifon.
La lumière eft fuppofée venir du foleil , &
{es rayons font parallèles au tableau & à la
ligne MA, de forte que l'oftibre P d'un point
quelconque D fe trouve , en menant NP qui
pafle par le lieu du point P , parallèlement à
AB , & DP parallèle à MA , qui coupera la
ligne NP en P.
• Quant à l'ombre du tétraèdre , qui eft re-
levé à côté de l'efcalier ; on la trouvera , en
cherchant de la même manière le point s ( qui
feroit l'ombre du point o fur le fol , s'il n'y
avoit point de degrés j ) on mènera sh & sp
pour avoir les ombres de ho & po. Soient su
& sp , qui coupent le bord inférieur des efca-
liers en y & x j menez xt perpendiculaire à
AC & qui coupe os en t ; vous aurez l'ombre
t du fommet o fur le bout des efcaliers, & xt
donnera la partie de l'ombre op 9 qui tombe
fur ce bout. On trouvera de même l'ombre
de oL Tous les rayons étant parallèles à AM,
&«A étant le point de fuite de DF , la ligne
de Perfpective linéaire. 73
ÀM eft la ligne de fuite, du plan formé par
les rayons , qui paffent par la ligne DF ; &
BM étant la ligne de fuite du mur , fur lequel
tombe l'ombre F/\, M fera le point de fuite
de l'interfeftïon commune de ces deux plans ,
c'eft-à-dire , de l'ombre F/de la ligne DF.
Exemple VIL
Dans cet Exemple , ACB , qui pafle par le r *w *&
centre C du tableau, eft la ligne de fuite du PiancàeSm
ibl i À eft le point de fuite du côté EF , fur le-
quel tombe la lumière , 8c des autres côtés qui
lui font parallèles 5 D eft le point de fuite du
côté GH &c. & DB perpendiculaire à AB eft
la ligne de fuite du plan EGH, P & Q font les
points de fuite Mes côtés MK & MN du té-
traèdre régulier , & par conféquent PQ eft la
ligne de fuite du triangle KNM ; L eft la lu-
mière , & I fon lieu fur le fol. Ayant BE g ,
qui eft lmterfe&ion du plan vertical EGH
avec le fol, on aura le point g 9 où les lignes
BEg & HG fe rencontrent , & g fera Finter-
feftion du côté HG avec le fol. BE coupe le
côté SR du mur SRh en R , & par conféquent
RA , perpendiculaire à AB , eft TinterfeéHoa
y4 Nouveaux Principes
du mur avec le plan EGH } & le point h 5 oïl
Kh &GHfe rencontrent, eft l'interfe&ion de
la ligne GH avec le mur. DL/ eft la projec-
tion d'une ligne parallele^à la ligne objeôive
de GH , ( à caufe du point de foite D ) ; BI
eft fa pofitionj ainfi / eft fon interfeétion avec
le fol.
Mais les lignes obje&ives de L/ & HG ,
étant parallèles , font dans le même plan ,
t'eft-à-dire , dans le plan qui forme l'ombre
de HG ; & puifque Ig repréfenté Pinterfè&ion
de ce plan avec le fol , cette ligne Ig prolon-
gée fera partie de l'ombf e ; & menant LG
qui la coupe en g , g fera l'ombre de G , &
gS la partie de l'ombre de HG qui eft fur le
fol ; menant enfuite Sk & Lfî qui coupe SA
en h , Sh fera l'autre partie de cette ombre
contre le mur.
. Ayant mené gp & DT , toutes deux paral-
lèles à AB , Dg & gp feront les projections
de deux lignes dans un plan , dont la ligne de
fuite eft DT } & T fera le point de fuite de
Pinterfe&ion commune de ce plan avec celui
du triangle KMN [ par le Corollaire z. du
Théorème y] PQT étant fa ligne de fuite. Donc
^ de PerfpeËlve linéaire. 7$
en menant T/> r qui coupe GD en V , V fera
l'interfe&ion de la ligne g GHD , avec le plan
de ce triangle KMN. Enfin Ig coupant MK
enr& menant rt\ 7 rt fera la partie de l'ombre
de GH , qui tombe fur le triangle KMN.
Ayant âinfi expliqué la manière de trouver
l'ombre de GH , le refte n'a "pas befoin d'ex-
plication.
Exemple V 'III.
Dans cet Exemple > C eft le centre du ta*
bleau, & CA la ligne de fuite du fol & de Fqp****
la furfâce de l'eau , qui réfléchit l'image des ■
corps, S eft le point de fuite des rayons de
lumière que Ton fuppofe venir du foleil.
L'ombre de la ligne perpendiculaire BD fe
trouve en cette manière: SA, étant. abaiiTée
perpendiculairement à CA , donne le point de
fuite A de l'ombre fur le fol Bfi Enfuite on
prendra dans la circonférence de la bafe du
cylindre , ( qui eft parallèle au tableau , fon
axe lui étant perpendiculaire, & ayant par
conféquent le point C pour point de fuite )
on prendra, dis-je, un point quelconque E,
& ayant trouvé fon lieu e fur le fol , on mè-
nera CE , & Ce qui coupeta BA en /Y & ab>
jg Nouveaux Principef
baiffant/T perpendiculaire à CÀ, qui coupé
CE en P, on aura un point P de l'ombre fur
la furface du cylindre. On trouvera de même
tous les autres points de cette ombre. Pour
prouver cela , le Lefteur n'a qu'à faire atten-
tion que l'objet de eEPfe eft un plan per-
pendiculaire qui coupe le cylindre en EP , &
que /P eft l'ombre de BD fur ce plan. Donc
P eft le point, où cette ombre tombe fur la
fiirface du cylindre. On trouvera de la ma-
nière fiiivante un point quelconque Q de l'om-
bre produite par la circonférence du cylin-
dre intérieur fur cette furfaçe. Ayant mené
CS , on mènera à volonté GH parallèle à
CS, laquelle coupera cette circonférence en
G & H. Enfuite menant GS & CH , qui fè
coupent en Q j ce point Q fera le point re-
quis. Car C étant le point de fuite dé l'axe
du cylindre , auffi bien que de CH , HQ eft
dans la furface du cylindre j & GH étant pa-
rallèle à CS, GH eft la projeâion d'une ligne
parallèle au tableau, dans un plan dont la
ligne de fuite eft CS ( & fon objet , étant pa-
rallèle au tableau , eft dans la bafe du cylin-
dre , qui eft parallèle au tableau* ) Donc les
de FerJpéQivt linialni Jj
objets de HG , HC & GS étant dans le même
pian , Q eft la projeftion du point , où le
rayon de lumière , dont la projeâion eft GS,
coupe la fiirface du cylindre , c'eft-à-dire ,
que c'eft J^ projeâion de l'ombre de l'objet
du point G dans la circonférence de la baie,
fiir la fùrface intérieure du cylindre.
b étant le lieu du point D fur la fiirface
de l'eau , on trouve la réflexion d du point
D , en prolongeant la perpendiculaire T>b
jufques à #e que bd foit égale à BD. Cela
eft évident , parce que la loi connue de la
réflexion , eft que les réflexions de tous les ob-
jets paroiffent auffi grandes du côté du plan,
que les objets le font réellement de l'autre
côté. Si l'on prolonge SA en s , de manière
que As foit égal à AS , on trouvera un point
quelconque q de l'ombre fur la fiirface du
cylindre intétigur dans la réflexion , de la
même façon qu'on a trouvé Q dans la figure
réelle en employant le point s au lieu de S.
L'ombre du cylindre fur la fiirface du cô-
ne , fe trouve par quelqu'autre expédient ,
à peu près comme on a trouvé l'ombre de
Ja ligne BD fur la fiirface du cylindre.
7$ ffatvêatix Principes
Exemple IX.
figure^. Dans cet Exemple ,-on comprendra aifé-
?Uncht f. ment c haque chofe par ce qui a déjà été ex-,
' pKqué. Je me borne à faire voir de quelle
manière on peut repréfenter la r^exion qui
fe fait dans un miroir d'un tableau placé for
le chevalet.
A eft le centre du tableau , AB la. ligne
de fuite du fol j & la diftance du tableau eft
égale à AB. AC eft la ligne de fuite du ta-
bleau , placé fur le chevalet , • CD celle
du miroir.
Menez ae par le point a , où le côté ba
«du pied de la table la coupe , & bd par le
point b , toutes deux parallèles à AB. bd cou-
pera en d l'interfeftion cd de la forface du
tableau for le chevalet avec le fol j & me-
nant de parallèle à AC , elle coupera ae en
e j & tirant enfoite Ae , on*aura la projec-
tion Ae de Finterfe&ion commune de la ta-
ble & du tableau for le chevalet : car ae y
étant parallèle à AB , eft la projeftion d'une
ligne , dans la furface de la table , parallèle
au tableau , & par la même raifon bd eft
la proje&km d'une ligne dans le fol, & de
de PerfptUive linlairi. 7^
celle d ? une ligne dans le plan dif tableau fur
le chevalet. Donc aide eu la projection d'un
trapèze parallèle au tableau , & dont l'angle
e fe trouve dans l'interfeCtion commune de
la furface de la table & du tableau fur le
chevalet j mais À étant l'interfeétion com-
mune des lignes de fuite de ces deux plans ,
eft le point de fuite de leur inteçfeCtion com-
mune. Donc ek eft la projeCtion de cette
interfeétion ( par le Corollaire 2. du Théorème
j. ) Par la même raifon o étant la proje6tion
du point , où la furface du miroir touche la
table , & E Finterfeétion commune des li-
gnes de fuite AB & CD ., oE fera la proje£tio$
de Pinterfeétion commune de la furface de
la table avec la furface du miroir. Donc le
point/, où 6E & ek fe rencontrent, eft la
projection du point où tes trois plans fe ren-
contrent , la furface de la table , du miroir
& du tableau fur le chevalet. Donc en me-
nant fC , on aura la projeftion de l'interfec-
tion commune du tableau for le chevalet &
du miroir.
Ayant trouvé le point de fuite P"des lignes
perpendiculaires au plan du miroir , dont la
8ô Nouveaux Principes
ligne de fuite eft CD {par le ProhUme 14. )
en menant PA par le point de fuite A de la
ligne GH , laquelle coupe CD en D ,, le
point D fera le point de fuite du lieu de GH
fur le plan du miroir. Donc GH coupant C/
en i , Di fera la projeftion de ce Keu de GH#
Menant enfuite GP qui coupe Di en k , k
fera le lieu du point G fur le miroir. Donc
en prenant kg fur GP , pour repréfenter une
ligne égale à celle qui eft repréfentée par
Gk ( parle Problème 3.) g fera la projeétion
de la réflexion de G , & gi la réflexion de Gi j
& menant PH qui coupe gi en h, gh fera la
réflexion de GH. On trouvera de même tou-
tes les autres lignes de la réflexion/
On peut auffi repréfenter la réflexion du
tableau , fur le chevalet , par le moyen de
fa ligne de fuite , t Ait comme Ton a repré-
fente la proje&ion du tableau même. Car en
prenant dans PAD la partie aD pour repré-
fenter une ligne égale à celle qui eft repré-
fentée par AD , a fera le point de fuite de la
ligne réfléchie g h , & C a fera la ligne de fuite
de la réflexion du tableau fur le chevalet.
NOUVEAUX
NOUVEAUX PRINCIPES
DE
PERSPECTIVE LINÉAIRE.
SECONDE PARTIE.
DE LA MANIERE DE TROUVER
les Figures obje&ives par leurs
projetions données.
PROBLÊME XVIII.
Etant donnée la projeSion d'une ligne divifée
& fin point de fuite } trouver la proportion
des parties de la ligne objeSive.
ip^pSOIT AB la projeétion donnée, divifée Figure 7.
1 1 S§ ; en C , & V fon point de fuite. Menez Planeht u
EffiMVQ à volonté & ab parallèle à VO ;
enfuite d'un point quelconque O de la ligne
VO , menez OA , OB , OC , qui coupent ab
F
tï Nouveaux Principes
en a , h , & ci la ligne objeâive de ÀC fera
à celle de CB , comme ac eft à cb.
Corollaire, acicb:: AC x BV: BC x
ÀV.
PROBLÊME XIX.
Etant donnnée la projection d'une ligne divi-
fée en deux parties ,& la proportion des par-
ties objectives ; trouver [on point de fuite.
fwr'7- Ç Oit AB la proje&ion donnée , divifée
Planche u ^j en q . Menez par C à volonté , la ligne
aCb , & prenez fur cette ligne la partie aC
en faifant cette proportion : cette partie aC
eft à la partie Cb , comme la ligne objeéHve
de AC eft à la ligne obje&ive de CB. Menez
encore aA & bB qui fe coupent eh O. Me-
nez enfin OV parallèle à ab , elle coupera
AB en V , qui fera le point de fuite requis.
Cor ollaire. BV : BA : : Ca x CB : Cb x
AC— Ca x CB.
Ces deux derniers Problêmes & leurs Co-
rollaires fe tirent aifément du Problême j. #
de fon Corollaire.
de Perfpective linéaire* 8f
PROBLÊME XX.
La projection d'un triangle étant donnée avec
fa ligne de fuite , fon centre & fa diflance $
trouver Uefpéce du triangle objectif. *
S Oit aie la proje6Hon donnée , HG fa K- Figure t©;
gne de fuite , S fon centre , & SO , per- Planch€2 *
pendiculaire à HG & égale à fa diftance.
Ayant prolongé les côtés de la projeéHon
donnée , jufques à ce qu'ils coupent la ligne
de fuite , dans leurs points de fuite G, H, Ly
menez GO , 10 , VO , HO & les objets des
angles bac 9 abH, acb feront égaux à GOI ,
IOH, GOH refpe&ivement ( par le Problême
ii.) On aura donc l'efpéce du triangle dont
on avoit la projeéHon donnée.
Fij
$4 Nouveaux Principes
P R O B L Ê M E XXI.
jEfoz/tf donnée la projeSion d'un triangle d'une
efpéce donnée & fa ligne de fuite ,• trouver
le centre & la dijlance de cette ligne de fuite.
Figuré t*. Ç Oit ABC la projeétion donnée & FD
#We*. ^3 fe Ugne de fuite ^ Prolongez les côtés de
la projeéHon jufques à ce qu'ils coupent la
ligne de fuite dans leurs points de fuite D ,
E , F. Divifez également DE & EF en G &
H , & menez GI & HK perpendiculaires à
FD i de manière que GI foit à GE comme
le rayon à -la tangente de Pangle repréfenté
par BAC , & que KH foit à EH comme le
ïayon à la tangente de l'angle repréfenté par
BCA i & ainfi EIG & FKH feront égaux à
ces angles. Des centres I & K & avec les ra-
yons IE & KE décrivez deux cercles qui fe
coupent mutuellement en Q , & menez OS
perpendiculaire à FD en S. Le point S fera
le centre , & SO la diftance requife.
D E M O rf S T R A T I O N.
En fuppofant le centre en S , & fuppofânt
de Perfpective linéaire. 85
encore que SO eft la diftance de la ligne de
fuite FD ; les objets des angles BAC & BCA
feroient égaux à DOE & EOF ( par le Pro-
blème ii.) mais par la nature du cercle DOE
& FOE font égaux à GIE & HKE , qui par
la conftruéHon font égaux aux angles repré-
fentés par BAC & BCA. Donc S eft le cen-
tre , & SO la diftance requife.
PROBLÊME XXII.
Etant donnée la projection d'un trapèze d'une
efpéce donnée ; trouver [a ligne de fuite >fon
centre & fa diftance.
S Oit abcd la proje&ion donnée ; menez Figurai.
les diagonales ac , hd qui fe coupent en e , planche *•
& par les proportions des objets de ae , ec
& bi y ed y vous trouverez les points de fuite
E & F des lignes ac , fkbd ( par le Problème
19.) Menez FE , qui fera la ligne de fuite
requife. Enfin par l'efpéce donnée du triangle
objeftif de abc > vous trouverez le centre S
& la diftance SO (par le Problème zz.)
Fiij
86 Nouveaux Principes
PROBLÊME XXIIL
Etant donnée la projection d'un parallélépipède
reSangle ; trouver le centre & la dijlance
du tableau , avec Fcfpéec de la figure ob-
jective.
fipv* *+ {? Oit ABCDEFG la proje£tion donnée :
PUnche 5. ^ prolongez les projetions des côtés pa-
rallèles , jufques à ce qu'elles fe coupent dans
4 les points de fuite H, I, K , & menez HT,
HK , IK , qui feront les lignes de fuite des
différentes faces de la figure requife , lefquel-
les forment un angle droit folide. Menez KL
perpendiculaire à HI & HM perpendiculaire
à Kl qui rencontre KL en S qui fera le cen-
tre du tableau ( par le Corollaire z. du Pro-
blême 16. ) Enfuite fur le diamètre LK , dé-
crivez un cercle & élevez SO , perpendicu-
laire à LK , qui coupe ce cercle en O , OS
fera la diftance du tableau ( par le Problème
14. LOK étant un angle droit , puifqu'il s'ap- #
puie fur la demi-circonférence. ) Enfin cher-
de Perfpective linéaire. 87
chez les diftances des lignes de fuite Kl &
IH ( par le Corollaire 3. du Problême 16 , M
& L étant leurs centres par le Théorème 1. )
Cette opération étant finie , cherchez l'efpéce
des faces objeéHves de DAFE & DABC ( par
le Problême zo. )
Cor o jll ai r e.
Lorsque la ligne de fuite de l'une des
faces , par exemple , IH , pafle par le cen-
tre du tableau , le point de fuite K des cô-
tés , qui lui font perpendiculaires , eft à
une diftance infinie, & par ce moyen la fitua-
tion de LK eft indéterminée r de forte qu'on
peut prendre à volonté Fefpéce de cette face
ABCD , & enfuite on peut trouver le centre
& la diftance du tableau par le Problême zo.
Dans ce cas , fi Ton demande feulement que
la projeftion propofée repréfente un parallé-
lépipède reftangle en général , le Heu du point
de l'œil doit être en quelque endroit que ce
foit de la circonférence d'un cercle , décrit
fur le diamètre HI & dans un plan perpen-
diculaire au tableau.
F iv
88 NaÊtveaax Principes y &c.
Je ne donne ceci que* comme une vue , qui
peut fervir à ceux qui peignent les feenes de
Tbéatte.
*9
-y*fr*<1*ift , A*i>rt*1rrti*'1imit'iliitl*ft jf
SfcJ ***** *p«îi*!i> W iSfcî &
,*V*j# * ********* ^ 3****jRf
S U P P L E ME NT
AU TRAITÉ
Z>£ PERSPECTIVE.
ARTICLE PREMIER.
Description d'une Méthode pour reprêfenter
aifément toutes fortes défigures fur une fur-
face 9 quelque irréguliere quelle foit.
StïîïSSL eft évident par tout ce qui a été
$||.JîJ|dit jufqu'à préfent dans ce Livre for
x#####jlles principes de la Peinture^ for-tout
à la fin des Définitions , qu'on peut étendre
le fens du fécond Théorème à toutes fortes
de furfaces. Quelque irréguliere que foitune
furface , qu'elle foit convexe , ou qu'elle foit
concave , on peut également y tracer un ob-
jet. Ainfi quelle que foit la forme de la furface
du tableau ABC {figure 3. planche i. ) la pro-
ç>0 Nouveaux Principes
jeéUon fg de la ligne objeftive FG fera tou-
jours ïïnterfeôion du tableau avec le plan du
triangle FGO ; mais comme la ligne OV pa-
rallèle à la ligne FG eft dans ce plan ( par
le Théorème j. ) il s'enfuit que fi on place une
lampe immédiatement derrière le point O de
la ligne OV , l'ombre de la ligne OV cou-
vrira la ligne GF ; elle couvrira auffi en mê-
me tems la proje&ion fg de cette ligne. La
même chofe arriveroit , fi Ton fuppofoit l'œil
du Speftateur placé immédiatement derrière
le point O de la ligne O V j car alors la ligne
OV lui cacheroit la ligne GF & fa projec-
jeftion fg, & même toute la proje&ion in-
définie YfgB.
De cela je conclus que la méthode fuivante
pourra être d'un grand ufage pour tracer des
figures fur quelque furface que ce foit. On
pourra par ce moyen peindre aifément la
voûte ou la coupole d'une Eglife , le plafond
d'une falle , les fcenes d'un théâtre.
Choififlez dans ce que vous voulez deffî-
ner , une ligne principale , & après avoir ,
felort les principes précédens , trouvé les
points qui la terminent , faites paffer par le
de Perfpeâive linéaire. 91
point de l'œil un cordeau parallèle à la li-
gne obje&ive j de forte que fôn ombre cou-
vre les deux points déjà trouvés. Marquez
eniuite avec le crayon la trace de cette om-
bre , & la ligne que vous aurez ainfî tracée
fera la proje&ion de cette ligne principale
que vous aviez choifîe. Comme il arrive
fouvent des cas où vous ne pourriez pas opé-
rer peut-être de la forte j vous pourrez en pa-
reille occafion placer votre œil de façon que
le cordeau parallèle à la ligne obje&ive vous
paroiffe couvrir les deux points déjà mar-
qués , & avoir enfirite quelqu'un qui puiffe
en conféquence tracer la projeétion dont
vous avez befoin. Je fuppofe , par exemple ,
que la ligne ph ( figure zo. planche 4. ) eft
cette projeftion principale $ pour trouver
alors la projeétion , par exemple , d'un au-
tre point qui fe trouve dans la figure que
vous avez à deffiner , imaginez-vous que ce
point eft le fommet d'un triangle qui a pour
bafe la ligne obje&ive de la projeftion déjà
trouvée : & placez votre cordeau ( qu'on fup-
pofe toujours paffer par le point de l'œil. )
Dans une fîtuation parallèle à l'un des cotés
■?
£î Nouveaux Principes
de ce triangle , portez fon ombre fur l'extré-
mité correfpondante de la proje£Hon don-
née , marquez-la avec le crayon , comme il
a été dit plus haut , & vous aurez dans cette
Jtgne tracée la projeftion indéfinie de ce cô-
té. Je fuppofe que ce côté eu le côté ho ;
faites la même chofe par rapport à l'autre
côté , & par Pinterfe6Hon de ces projetions,
tjue je fuppofe être les lignes ho & po ,
vous aurez la projeftion du point demandé*
On peut , en fe fervant de cette méthode y
trouver la projeétion de quelque figure que
ce foit. Je ne m'étends pas davantage fur
cette façon de procéder , parce que je n'ai
jamais eu occafion de la mettre en pratique :
je me contente de la propofer comme une
idée que je laifle 'à examiner à ceux qui vou-
dront porter plus loin leurs recherches en ce
genre.
de Perfpective linéaire. $3
gg=g== ■ ' a
ARTICLE IL
Nouvelle Théorie fur le mélange des Couleurs ±
félon les principes de l'Optique de Newton*
QUoique je, n'eufle formé le deflein que
d^ donner un fîmple traité de Perfpeo
tive, fans entrer dans aucun détail, par raport
aux autres parties de la Peinture ; cependant
pour rendre ce Livre encore plus utile aux
jeunes Elevés dans cet Art , j'ai cru devoir
faifir cette occafion pour communiquer au
Public quelques idées fur le mélange des cou-
leurs , qui font les fruits des réflexions que j'ai
faites en lifant la Théorie de Newton fur la
lumière & fur les couleurs , dans fon excellent
Traité d'Optique.
Tout corps coloré nous préfente deux cho-
fes à confiderer. La i rc . efl ce qu'on appelle
proprement la couleur elle-même ; la 2 e . eft
la force d'ombre ou de lumière : car comme
deux différentes couleurs, par exemple, le
rouge & le verd, peuvent avoir la même force
de lumière , de même deux chofes qui ont
9$ Nouveaux Principes
fuite du blanc , j'entendrai communément
une couleur qui tient le milieu entre le blanc
le plus éclatant & le noir le plus parfait j car
ici où nous ne faifons aucune attention aux
différents degrés de lumière ou d'ombre , nous
pouvons regarder toutes les couleurs qui fe
trouvent entre le noir & le blanc comme une
feule & même couleur.
Selon, ce que nous venons d'obferver fur
la nature de la blancheur , il paroît que les
touleurs rompues tiennent le milieu entre la
couleur {impie & le blanc , & que la couleur
la plus rompue eft celle qui approche le plus
du blanc , & que plus elle s'en éloigne , plus
elle approche de la couleur fimple.
Après avoir expliqué la nature des couleurs
& l'effet de leur mélange , il me refte à vous
donner un moyen affuré de trouver exa&ement
quelle fera la couleur qui résultera du mélange
, de certaines couleurs affignées. Je le trouve
dans les principes de Newton } voici la ma-
nière dont il arrange les couleurs. Il fuppofe
qu'on trace le cercle ADFA dont la circon-
férence eft divifée en fept parties , AB , BC ,
CD,
de PtrfpeSive linéaire. 97
CD , DE , US , FG , G A , gardant entr'elles Figure * s .
la même proportion que les fraâions ' , x %6 , jl 9 s%
1. f i , jl.,2.. Ces proportions (ont les mêmes
que celles qui fe trouvent entre les notes de mu-
ûquefol, la, fa, fol > la, mi 9 fa,fol. Dans
Fefpace qui fe trouve entre A & B , il place
toutes les différentes fortes de rouge , entre B
& C toutes les différentes fortes d'orangé ,
entre C & D toutes les différentes fortes de
jaune , entre D & £ toutes les différentes
fortes de verd > entre E & F toutes les diffé-
rentes fortes de bleu , entre F & G toutes
les différentes fortes d'indigo ; enfin entre
G & A toutes les différentes fortes de vio-
let. Après avoir ainfi rangé les couleurs Am-
ples dans la circonférence , il place le blanc
au point O qui eft le centre du cercle ; &
entre le centre & la circonférence il met
toutes les couleurs rompues ou compôfées ,
en obfervant que celles qui font le plus près
du centre , feront les plus compôfées , & que
celles qui s'en éloigBMt , feront les moins
rompues. Ainfi dans la ligne Oi , toutes les
couleurs qui fe trouvent aux différens points
G
98 Nouveaux Principes
1,2, 3,4, font de la même eipéce , c'efc
à-dire , un verd tirant fur le bleu. Mais la
couleur placée au point 1 eft la couleur Am-
ple j celle qui eft au point z , eft un peu com-
pofée ou rompue ; celle qui fe trouve au
point 3 , l'eft davantage ; enfin celle qui eft
au point 4 , l'eft encore plus.
Toutes les couleurs étant rangées felon
Tordre que Ton vient de prefcrire , voulez-
vous fçavoir quelle fera la couleur qui réful-
tera du mélange de telle & telle couleur en
particulier qu'on vous aura affignées ? Cher-
chez le centre de gravité des logettes, où
Ton fuppofe que font les couleurs données
felon l'arrangement prefcrit. Suppofons par
exemple , que vous voulez connoître quelle
fera la couleur que formera le mélange de
deux parties d'un jaune fimple placé au point
P , & de trois parties d'un bleu fimple placé
au point Q ; vous trouverez le point 3 pour
centre de gravité des points P & Q ; c'eft-
à-dire , qu'après avoir tiré la ligne PQ , vous
la divifez en cinq parties , nombre qui ré-
pond au nombre des parties des couleurs qui
de Perspective linéaire. 99
font entrées dans le mélange affigné ; & vous
placez le point 3 après la troifiéme partie de
la ligne , en partant du point P , parce qu'il
y a trois parties de bleu , & deux parties en
partant du point Q , à caufe que dans le mé-
lange il eft entré deux parties de la couleur
placée au point P. Tirez enfuite la ligne O3
qui coupe la circonférence au point 1. Par
la place marquée 1 qui fe trouve entre D &
E , mais plus proche de E , vous trouverez
que le mélange produit un verd tirant fur le
bleu ; & parce que le point 3 tient à peu
près le milieu entre la circonférence & le
centre , vous devez conclure que cette cou-
leur compofée fera rompue , fans l'être ni
trop ni trop peu. Pour donner un nouveau
jour à ceci , propofons un autre exemple.
Suppofbns encore que vous voulez fçavoir
quelle fera la couleur que produira un mé-
lange de deux parties de jaune placé au point
P , de trois parties de bleu placé au point
Q , & de cinq parties de rouge placé au
point R : vous trouverez d'abord , comme
nous venons de le dire , fa place 3 de la cou-
IOO Notveamx Principes
leur qui tètàst du mélange du jaune & au
Ueu. Tira donc la figue 3R; & parce que
to» trouverez, an point 3 un mélange de cinq
patries de couleurs , & que vous en trouve-
rez cinq autres au point R , drnfez cette li-
gne en dix parties , & après la cinquième en
partant du point R vous marquerez le point
r qui fera le centre de gravité des trois cou-
leurs placées en P , Q & R , & qui fera par
confisquent la place de la couleur qui réfiilte
de ce mélange j & fi par ce point vous tirez
la ligne Or qui coupe la circonférence en s
vous trouverez que votre mélange a produit
un orangé qui tire un peu fur le rouge ; &
parce que le point r eft plus près du centre
que de la circonférence , la couleur fera plus
rompue. On peut fuppofer d'autres exemples
dans lefquels il fera aile de trouver la cou*
leur que Ton cherche.
On peut pareillement fur une couleur com-
pose dont on aura affigné la place > trouver
quelles font les couleurs (impies qui font en-
trées dans le mélange dont elle eft compofée.
Si on vous donne la couleur placée au point
de Perjpeâive linéaire* iot
3 9 tirez la ligne P3Q qui pafle par le point
3 : cela fait , vous trouverez que cette cou-
leur eft faite par un mélange des couleurs
placées en P & en Q. Obfervez enfuite la
proportion qui fe trouve entre les lignes 3P
& 3Q , & vous trouverez que la quantité
de la couleur P eft à la quantité de la cou-
leur Q , comme la ligne 3Q eft à la ligne 3P.
Ou bien tirez la ligne O3 qui pafle par les
points 1 y z r 4 , & vous trouverez qu'on
pourra produire la même couleur , en mêlant
les couleurs placées aux points 2 & 4 , en ob-
fervant entr'elles la proportion qui fe trouve
entre les lignes 4. 3 & 2. .3. Vous pourriez
encore la faire en mêlant la couleur placée
au point 1 avec le blanc placé enO, obfer-
vant aufli entre ces couleurs une proportion ,
qui fera celle qui fe trouve entre les lignes
3. 1 & 3 O. Obfervez la même façon de pro-
céder , dans d'autres exemples pareils.
Rentarquez que les proportions que j'ai dit
a devoir être obfervées dans le mélange des cou-
leurs > ne peut s'entendre que par rapport à la
quantité de lumière , & non pas par rapport à
G iij
102 Nouveaux Principes
la quantité de cette matière dont font compo-
fées les couleurs artificielles. Ceft pour cela
que fi on avoit à mêler différentes couleurs arti-
ficielles , & qu'on voulût le faire félon les rè-
gles que nous venons de prefcrire , il faut ob-
fèrver que comme parmi ces couleurs artifi-
cielles , il s'en trouve qui font plus foncées
que les autres, il faut en augmenter la-ddie à
proportion qu'elles* font plus fombres^iiTon
veut avoir la couleur que Ton s'eft propofé ,
parce que plus elles font foncées , moins elles
renvoient les rayons de lumière à proportion
de leur quantité j &par la même raifon, on em*
ploira en moindre quantité les couleurs les plus'
claires,qui renvoient plus de rayons de lumière.
Si l'on connoiflbit afTez parfaitement là
nature des couleurs matérielles dont on fe
fert dans la peinture , pour qu'on pût éxâftè-'
ment affigner leur efpéce , fçavoir quel eft leur
point de perfeftion dans cette ëfpécë , coh-
noître de quel degré de lumière ou dtfmbre
elles font fiifceptibles proportionnellement à
leur quantité , on pôurroit en lès mêlant felon
ces règles, produire exaftement la couleur que
de Perfpective linéaire* io)
Ton fouhaiteroit j mais quoique nous ne pui£
fions pas nous flater d'avoir là-deffus des con-
noiflances aflez juftes pour agir furement, &
malgré la peine qu'il y auroit à mefurer ces
couleurs matérielles félon leurs juftes propor-
tions y les Peintres pourront cependant tirer
de grands avantages des principes que nous
avons avancés.
Suppofons , par exemple, que vous ayez une
palette garnie de différentes couleurs aux points
a 9 6 9 c,d,e 9 que vous avez du carmin au point
a , de l'orpiment au point b , de la laque au
point c , de l'outre-mer au point d, & du bleu
d'azur au point e. Suppofons en même temps
que vous avez befoin de faire du verd rompu ,
tel que feroit celui qui ferait placé au point x.
Après avoir regardé autour du point x , vous
voyez qu'il n'y a pas loin de ce point x à la
ligne qui pafTe par les points c & d; d'où vous
pouvez conclure qu'en mêlant les couleurs c &
d vous ferez une cguleur qui approchera de
celle dont vous avez befoin $ & parce que
le point x eft plus près du centre O , que la
ligne cd y vous amènerez votre teinte, auffi
G iv
104 Nouveaux Principes
près que vous le pourrez, du point où vous
fuppofez que doit être la couleur dont vous
avez befoin ; vous l'amènerez par exemple au
point { : cela fait , vous examinerez , en regar-
dant du point i à travers le point x , fi wus
ne verriez point quelque couleur oppofée à Z ,
& que vous puffiez ajouter à votre teinte.
Vous trouverez que la couleur la plus proche
de l'endroit où vous vifez eft la couleur a , &
vous vous en fervez, afin de trouver par ce
nouveau mélange la couleur que vous cher-
chez. Si le mélange de cette couleur a ap-
proche trop votre teinte de la ligne OD ,
vous ajouterez un peu plus de la couleur
p .
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PRINCIPES
DE LA
PERSPECTIVE LINÉAIRE,
TRADUITS DU LATIN.
DÉFINITION PREMIERE.
$t!£S£f I ^' on ^ mouvoir une ligne indéfî- jr^ m â &
* S ^T nie XY autour d'un point fixe Z , Planche*.
5^^«ielon une dire&on quelconque don-
née , & fi cette ligne, dans ce mouvement,
rencontre un plan indéfini MN , le point Z
fe nommera le pôle , ou le point de l'œil. Le
plan MN fera le plan de projefHon , ou le
tableau. La trace de la ligne XY fur le ta-
bleau, s'appellera la projection d'un objet, qui
peut être indifféremment , ou un point s ou
une ligne , ou une furface f ou un folide , &
à qui on pourra donner dès-lors le nom F
*r?Th
. r ie Perfpective linéaire; .-, ." î£|
Définition IL
On fuppofe la figure ou la ligne ôbje&ive
dans un plan , & ce plan fè nomme la bàfè>
ou le plan objectif. Tel eft le plan EF> oit
.l'on voit la courbe POL &; là droite PL, ;
D £ f i n i T i o n III.;
La ligne LS, où le tableau coupe le plan
TfbjeéHf 7 le nomme Uinterfécliôn du plan oI>
Si Ton imagine par 1§ point de l'œil Z un
pkn ZGI , parallèle au plan objeftif EF^ &
fi la ligne CI eft rinterfeftion de ce plan
^y$ç le tableau , ce plan ZCI fe nommera plan
horifontal, pu plan, parallèle au plan objectif, &
Tinteffeftiqn CI fera la ligne Jiorifontale , ou
plus exaftement la ligne, de fuite du plan ob-
"jeÔifEF,,
Corollaire. X-a ligne de fuite eft toujours
parallèle à Tinterfeâion du plan ôbjé&if ( par
la Proportion 16. du Livre n. des Elemens.)
Définition V.
Le plan ZCG qui pafle par le point de l'œil
H
>t 1 4 Nouveaux Principe)
Z, & qui eft perpendiculaire au plan obje&ifj
à fon parallèle & au tableau , fe nomme plan
vertical , ou plus exa&ement plan perpendicu-
laire. L'interfeôion ZC de ce plan , avec le
. plan parallèle au plan objeâif , fe nomme
Taxe de la proje&ion , ou la difiancc du tableau.
Le point C où cette ligne ZC coupe le ta-
bleau , fe nomme le centre de la projeéHon
ou le centre du tableau. La droite CG ou Fin-
terfeftion de ce plan avec le tableau , corn-
prife entre le centre C & Tinterfe6Hon LS du
tableau avec le plan objeâif , fe nomme le
rayon.
Si Ton juge à propos de fiibftituer au plan
vertical ou perpendiculaire ZCG un autre plan
Zcpgpu oblique au plan Qbjeftif , ou au ta-
bleau , ou à tous les deux 9 tes interférions
cg y Zc ?vec le tableau & le plan parallèle f
fe nommeront Tune rayon fecondaire y & l'au-
tre axe fecondaire de la projeétion , & le point
c fera le centre fecondaire du tableau y ou le
centre de la ligne de fuite.
Définition VL
Enfin fi l'on fait par le point de l'œil Z le
r ie PerfpeSive tiniainl * Vif
jrfatî ZRV parallèle au tableau , ce plan fe
nommera plan de direction, & fbn interfeôion
RV avec le plan objeétif , fera la ligne des
extrémités, ou la ligne dé direction.
Corollaire. La ligne de dire&ion RV
eft parallèle à l'interfe&ion LS du tableau
avec le plan obje&if.
fBSSSSS== SÊSÊSSSSSSSSSSSSSSS^
P R O B L Ê M E.
Etant donné le point de Vœil Z, le tableau MN
& le point objectif P 9 trouver la projection
p de ce point.
Premier Cas* v
S Oit le point P de l'autre côté du tableau fi guri &
par rapport au point de l'œil Zj ou ceWw^'^
qui eft le même , que le tableau fe trouve en*
tre ces deux points Z & P. Si Ton fait paffer
par Taxe ZC, c'eft-à-dire par le point de l'œil
Z & par le centre du tableau C , & enfin par
le point obje&if P le plan ZCPL , dont Pin-
terfeâion avec le plan obje&if eft PL , &
l'interfe&ion avec le tableau eft CL, la pro--
je&ion requife fe trouvera dans ce plan & dans
la droite ZP j elle fe trouvera auffi dans la
Hij
fàf * /Nouveaux Principe^
&oite CL. Donc elle fera dans Iç point jp |
ph ces deux lignes ZçP , CL fe coupent.
Or comme les droites ZÇ, LP font pa*
ralleles ( par notre Définition 4, & par la 16*
du Livre 11. des Elemens, ) les triangles PL/;,
7?Çp oppofés par la pointe en p feront fem*
blables & PL : ZC : : Lp : Cp. ou ( en corn*
pofant ) PL + ZC : PL : : CL : Lp 5 mais l'an-
gle ZCI eft droit ( par la Définition 5. du Li-
vre 11. des Elemens) & l'angle PLS lui eft
égal ( par la Définition 19. du même Livre. )
Si on abaiffe donc du point donné P la li-
gne PL perpendiculaire en L à Tinterfeftion
LS •, & qu'on joigne CL f la diftance PL
ajoutée à Taxe ZC fera à la même diftance
PL* comme CL eft à Lp. Or les points Z ,
P jetant donnés avec le tableau, & prenant
un plan objeéHf quelconque qiripaffepar P,
& qui coupant le tableau forme l'interfeâion
LS , on aura PL , ZC , CL , & par confé-
quent Lp.
. Voici maintenant la conftruftion pratique
de ce Problême dans un plan. Menez la li-
r Z r( ch?6 gne d ' interfeftion LS du P lan obje6Hf r & la
perpendiculaire LQ à cette interfeétion: pre-
de Perfpe&ive linéaire. uf
iiéz fur cette perpendiculaire la ligne LP égale
à la diftance de Pinterfeétion au point donnée
& fur Pinterfeétion LS, prenez LG égale à
la diftance du point donné P au j>lan perpen-
diculaire , afin que GM perpendiculaire à LS
xepréfente Pinterfeôion du plan objeâif avec
le plan perpendiculaire* Prenez dans la ligne
GM prolongée du côté oppofé au point P ,
la partie GH égale à Taxe de proje&ion , ou
ce qui eft le même , à la diftance du point de
Fœil au tableau (qui eft ZG dans la figure z6.)
Prenez encore dans la ligne GM la partie GC
égale au rayon ou à la ligne CG de la même
figure 16. & menant, par les points H, P,
les lignes HN , PM parallèles à Finterfe&ion
LS , dont la dernière rencontre la perpendi-
culaire en M ; joignant enfiiite CL , prenez
dans la droite HN la partie HK égale à CL ,
& ayant joint KM qui coupe LG en D j fi
Ton prend fur LC la partie Lp égaie à DG,
on aura la proje&ion requife p du point P*
Car MH : MG : : HK : DG > ou par la cont
truéHon PL+ZC ( dans la figure z6. ) : LP : ;
CL : Lp. Donc en menant CI parallèle à LS ,
&faifamdans la ligne HC prolongée la partie
Hiij
it£ Nouveau* Principes
CZ égale à GH , fi l'on laifle le plan PG im-
mobile, & qu'on élevé fur la ligne LS la
partie de la figure ICGL , de manière qu'elle
forme l'angle donné du tableau avec le plan
objeétif , & qu'on replie enfiiite la partie ICZ
fiir la droite IC , de manière qu'elle foit pa-
rallèle au plan objeftif , cette figure devien-
dra la même que la précédente , & la droite f
qui joindra les points Z & P, paffera par p %
€ a s IL
Si le point objeéKf eft du côté de l'œil 9
mais plus proche du tableau que l'œil , comme
Figure z6. P? ( figure ië.) fa projeéHon p\ fe trouvera
«T h 6 c * ans * a ^ roit ^ CL prolongée du côté de L ,
'&~l'on auraCZ: P a L:: Cjf: hp % & ( en di-
vifant ) CZ— P?L : P a L : : CL : L/>! ; & la
conftru&ion de la figure z8. ne fera dif-
férente de la précédente qu'en ce que les
points P & M feront de l'autre côté de l'in-
terfeftion LS , & que par conféquent la ligne
KM prolongée déterminera le point D de
l'autre' côté du point G.
Cas JIL
S oit enfin le point P du même côté , mais
• âe PerfpeSive linéaire* 119
plus éloigné du tableau que l'œil , comme P. 5
{figure z6.) fa proje&ion fera dans la ligne Figure 2&
LC prolongée au defTu^ du pian parallèle***- ■
au plan obje&if , & Ton aura P 3 .L : ZC : : L/>* :
Qf , & (en divifant) P'L— ZC : P'L : : CL :
Lp\ Dans la conftruftion (figure 2p. ) Pfera
placé dans QL prolongée au delà de HN 5 le
point D tombera de l'autre côté du point L,
6cp fera dans LC prolongée du côté de C.
Ces trois cas renferment tout ce qu'on peut
propofer for la projeftion d'un point , & l'on
peut en déduire tout ce qu'on trouve ailleurs,
fur la proje&ion des figures reâilighes.
Corollaire h
La projeétion />*• d'une droite quelconque Figure 16:
Pn eft une ligne qui joint les projetions des Fl ^che6i
points P & n. ( par le Corollaire I er . de la Dé-
finition I er \ )
Corollaire IL
Les projetions de toutes les lignes droites Figure a6.
parallèles à l'interfeâion LS du plan objectif , PUneht 6 -
foit qu'elles foient dans ce plan , ou hors de
ce plan , font paralltles entr'elles & à Tinter* • ^
H iv
120 Nouveaux Principes
fe6Hon ; car fi l'on fait paffer par le point de
l'œil Z la droite ZT parallèle à l'interfe&ion
LS y & que l'on fafle mouvoir autour de cet
axe ZTun plan où fe trouveront les lignes droi-
tes objectives & leurs projetions , on aura
là démonftration de ce. Théorème par les
éléments.
On peut auffi le démontrer par les con£
tfu&ions précédentes } mais la projeftion de
celle de ces droites qui eft infiniment éloi-
gnée , de quel côté qu'on l'imagine par rap-
port au tableau, tombe toujours dans la ligne
de fuite CI , & au contraire la projeftion de
la ligne de direftioi^RV fe trouve à une dit
tance infinie.
Corollaire III.
gure 16. Si l'on divife une ligne objefHve parallèle
'à LS en un nombre quelconque de parties ,
leurs proje&ions feront en raifon direâe de
ces parties.
Corollaire IV.
iun 26. La proje&ion Lp d'une droite quelconque
i»cAr 6. p^ j u pj^ oiyçQ.tf ^ e ft perpendiculaire à
<& PerfpeSlve llnialtel ïifc
rinterfeÊHon LS , paffera par le centre C y
étant prolongée. On le voit clairement par
la conftruétion r ou même en fuppofant un
plan qui fe meut autour de Taxe ZC , car fi
l'on trouve dans ce plan une droite quelcon-
que PL y on y trouvera fa projeétion Lp ,
qui étant prolongée paffera néceffairement
par le centre C. Si la droite PL fe trouve en-
core dans le plan vertical ou perpendiculaire
ZGG , fa projeétion fera perpendiculaire à
Tinterfeâion LS. Si cette droite PL eftà une
diftance infinie de ce plan , fa proje&ion fera
la ligne de fuite»
CorollairgV.
Si Ton nomme a y p > r les droites ZC , Fi s ure **
PL , CL , on aura dans le premier cas du *** c
Problême Lp = c. j & fi Ton augmente p de
manière qu'elle devienne/? + x , la projection
deviendra Jl^j d'où retranchant tile refte
z ?pïl+- +x ^ era * a P r °j e &i° n du nouveau feg-
ment x ; & ainfi ce fegment étant donné , la
projeftion fera en raifon inverfe du reftangle f
fous les diftances de {es extrémités à la ligne
de dire£tion RV & un point qui aura un mou- .
11 i Nouveaux Principes
vement uniforme dans la ligne LP dans fa
projeôion LC avec une vitefle qui fera ei*
raifon inverfe du quarré de la diftance de ce
point à la ligne de direôion RV.
Corollaire VL
figure *6. Les projeftions de la droite Pn oblique à
P/ ^* r ^rmterfe6tion LS & à celle de fes parallèles
pafferont par un point c qui eft le centre de
la ligne de fuite , ou le centre fecondaire du
tableau > différent du centre principal C. Là *
démonftration eft la même qùè celle des Co-
rollaires précédens , en imaginant un plan qur
paffe par le point de l'œil Z & par Tune des
droites Pn , & qui formera la projeftion p*
laquelle rencontrera la ligne de fuite dans
le point c. Et faifant enfuite tourner ce plan
autour de Taxe Zc, celle de toutes ces pa-
rallèles , qui eft à une diftance infinie , aura
fa proje&ion dans la ligne de fuite CI , &
Ton trouvera comme ci-devant le raport des
projetions de chaque fegment.
Cor o l l a i r e. VIL
pSche 6 6 TOUS ICS pOÎmS d,interfeftion deS KgieS
He PerJpeSlve îïneairet >l£
objefHves avec la ligne de dire&ion RV ont
leurs projetions à une diftance infinie , & par
conféquent les lignes objeétives quife coupent
dans cette ligne de direction ont leurs projec-
tions parallèles , puifque la pointe de l'angle
de leurs projetons eft infiniment éloignée , &
réciproquement les lignes objectives, dont les
projetions font parallèles, fe coupent nécet
fairement dans la ligne de direftion RV. Il fuit-
de-là & des Corollaires 4 & 6. que les proprié-
tés de la ligne de direction & xje la ligne de
fuite font réciproques par rapport au plan ob-
jectif & au tableau.
Corollaire VI IL
V *
Quant aux angles } fi la ligne objeftive , fh urt *&
comme PL eft perpendiculaire à la ligne d'in» c e - *
terfeftion LS , on aura les angles GCL , GLC
par les lignes données CG , GL & par l'angle
droit CGL ; & en ftilè d'arithmétique , comme
CG eft à GL , ainfi le rayon eft à la tangente
de l'angle GCL.
Mais fi la ligne objeftive comme Pn eft
oblique , la pofition de^n étant donnée , on
aura fon interfe£Uon avec LS , par exemplt
1*4 Vfouveaux Principes
g % ou la ligne interceptée Gg. On aura donc
la diftance des centres Cc;&fi*eft Kn-
terfeôion de la projefèon p* de cette ligne
oblique avec le rayon CG (prolongé s'il eft
néceflaire) les lignes données Gg, Ce don-
neront la raifon de Gg+ Ce à Ce ; c*eft-à-
dire de CG à O ; pwfque Cgi Ce : : *G :
G* } & en compofant ou divifant Cg+ Ce z
Ce : : CG ; Or.
On aura donc O & Tefpéce du triangle^
&r ou l'angle Orc.
• On peut auffi remarquer en paflant que
dans le premier cas , le rayon CG étant donné
avec la diftance CL , on a Fangle J'inclinai-*
ton de la prôjeftion Lp , quelle que (bit la
longueur de Taxe ZC ; mais qu'il n'en eft pas
de même du fécond cas, puifque ZC croi£
fant ou décroiflant Ce croît ou décroît.
Corollaire IX.
Les droites élevées fur le plan objeôif &
parallèles au tableau , ont des projetions pa-
rallèles. Mais fi étant parallèles entr'elles, elles
font inclinées au tableau de quelque façon
que ce foit , leurs projetions feront conver-
t f de Perjpe&ive UnialN^ 12^
gentes vers un même point , qui fera celui
pu la droite, qui eft parallèle à ces lignes
obje&ives , & qui paffe par le point de l'œil ,
rencontrera le tableau j c'eft ce qu'on nomme
le point de fuite.
Corollaire X
Si le tableau , comme il arrive fouvent ;
eft fuppofé droit fur le plan objeéttf , & fi
Ton rapporte à ce plan tous les points qui font
deffus , ou deffous par des perpendiculaires , on
trouvera leurs projetions *** est» manière.
Soit la hauteur du point n au-deffus , ou Figure 27:
au-deffous du plan objeftif égale à a , & que p b*&* •*
la perpendiculaire abbaiffée de ce point fur
le plan objeftif fe rencontre en P dont la
prôjeftion trouvée par les règles précédentes *
foit p. ( Ce point n n'eft point marqué fur la
figure ; mais on peut aifément en imaginer la
place à la faveur du point P , où Ton fup-
pofe que tombe , fur le plan objeftif , la
perpendiculaire abbaiffée de ce point n. )
Prenez fur PL prolongée , s'il eft néceffaire,
la partie L/ ou La égale à a , félon que n eft
au-deffus ou au-deffous du plan objeôif ;
1 16 Nouveaux Principes > &ci
menez auffi Cl ou Cx , fi la ligne p* paf aM
lele à PL rencontre la droite Cl ou Cx en ?r t I:
le point *• fera la projeôion requife. I,
Car le point de l'œil Z & le tableau étant ;'
donnés , on a Taxe perpendiculaire ZC j & |
l'élévation de n ou fon abbaiffement par rap- , !
port au plan obje6tif , ne fait autre choie i
que de rendre le rayon CG égal à CG + a, j
c'eft-à-dire à Cg ou Cy , tout le refte fubfiftant. j
Donc par les mêmes analogies qui détermi- i
jiënt p & * , on aura CL : Lp : : Cl : lir : :
Ca : A^r, & par rnnféquent pn fera parallèle !
à PL. }
Corollaire XL
i
Si la hauteur de n eft plus grande que
celle de l'œil Z , fa projeétion fera au-deflus
de la ligne de fuite j ce qui revient au troi- j
fiéme Cas du Problême,
Corollaire XII.
La projeéHon d'une figure reôiligne quel- )
conque , fe trouve en cherchant les projec- '
tions des lignes droites qui la terminent.
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2« Ver/jnSive iïnkïr$ fjg
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Corollaire XIII,
Si le point de l'œil Z étoit à une diftanc©
infinie du tableau & du plan objeôif , de
forte que ZP fut toujours parallèle à une
ligne droite donnée , on auroit la projection
que l'on nomme orthographique , qui s'exé-
cute par les mêmes règles , en les appliquant
à ce cas particulier. .
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